반지름 1인 원 안에 원둘레의 두 점을 잇는 선분, 즉 현을 만든다. 다음 세 절차는 모두 원을 회전해도 분포가 바뀌지 않는다. 어느 방법이 긴 현을 더 자주 만드는지는 길이의 기준에 상관없이 같을까?
| 방법 | 무엇을 균등하게 고르는가? |
|---|---|
| E | 한 기준 방향에서 잰 두 각을 서로 독립으로 [0,2π)에서 골라 두 점을 잇는다. |
| R | 중점의 중심거리 r을 [0,1]에서, 방향을 독립으로 [0,2π)에서 고른다. |
| M | 중점을 원판의 넓이에 대하여 균등하게 고른다. |
R과 M에서는 중심과 중점을 이은 선에 수직인 현을 택한다. 중심인 경우에는 임의의 지름을 택하며, 확률 0인 이 예외는 계산에 영향을 주지 않는다. 현의 길이를 L, 기준을 ℓ이라 두자.
ℓ=1과 ℓ=√3에서 세 확률을 비교하고, E와 M의 순서가 바뀌는 기준이 더 있는지 증명하라.
R은 거리 구간의 길이로, M은 작은 원판의 넓이 비로 계산한다. E에서는 두 점의 위치를 정한 각의 차 Δ를 2π로 나눈 나머지가 균등하다. 두 점의 중점 거리는 |cos(Δ/2)|이므로 이 값이 s보다 작은 각도 범위의 길이를 센다. sin φ=s인 유일한 각 φ를 0<φ<π/2에서 고르면 세 결과는 다음과 같다.
| 길이 기준 ℓ | E | R | M | E와 M의 비교 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2/3 | √3/2 | 3/4 | M>E |
| √2 | 1/2 | 1/√2 | 1/2 | M=E |
| √3 | 1/3 | 1/2 | 1/4 | E>M |
표의 두 사례만으로 나머지 기준을 단정하지 않는다. 0<φ<π/2에서 sin φ는 두 끝점을 잇는 직선보다 엄격히 크므로 s>2φ/π다. 또 0<s<1에서 s>s²다. 따라서 R의 확률은 모든 허용 기준에서 E와 M보다 크다.
E와 M의 차를 h(φ)=2φ/π−sin²φ라 두자. 0~π/4에서 h의 두 번째 도함수는 −2cos(2φ)이고 내부에서는 음수다. 양 끝에서 h=0이므로 내부에서는 h>0이다. 나머지 구간은 h(π/2−φ)=−h(φ)로 부호가 반대다. 따라서 E와 M이 내부에서 같아지는 기준은 ℓ=√2 하나뿐이다. 0<ℓ<√2에서는 M>E, √2<ℓ<2에서는 E>M이다. 기준 0과 2를 포함하면 모든 방법이 각각 확률 1과 0이 되는 자명한 끝점도 있지만 질문의 범위 밖이다.
같은 회전 대칭이 같은 길이 분포를 뜻하지는 않는다. 그렇다고 세 방법의 순서가 모든 사건에서 뒤바뀌는 것도 아니다. R이 전체 기준에서 우세한 사실과 E·M이 한 번 순서를 바꾸는 사실은 다른 답이다.
교사는 세 기준의 수치 표를 완성한 뒤, 두 사례의 순서 변화가 우연인지 묻는다. 넓이 선택과 반지름 선택의 차이만 설명한 답은 기존 기하확률의 한 단계다. 여기서는 전체 허용 기준에서의 순서와 유일한 교차 기준까지 확인한다.
착안 원문: University of Rhode Island Physics course archive, nex139: Midpoint distribution of random chords, PDF 55쪽. 선택 절차의 차이에 착안하되 두 독립 원주점 E의 조건, 표, 전체 기준 분류와 풀이를 자체 교육용으로 작성했다. 원문에 없는 측정 결과나 실제 줄 던지기 실험을 제시한 것이 아니다.