같은 길이의 두 시간 구간에 바람이 북쪽과 남쪽에서 각각 속력 6으로 불었다. 다음 단위벡터는 바람이 불어오는 쪽을 가리키며, 실제 부이 자료를 대신한 자체 예다. 풍속의 숫자 평균과 방향의 벡터 평균을 각각 계산하자.
단위벡터 평균은 영벡터여서 방향이 없다. 그렇다고 두 시간 동안 바람이 없었다는 뜻은 아니다. 속력 숫자의 평균과 방향성의 평균은 서로 다른 기록이다. 영벡터를 그 크기로 나누어 억지로 단위 방향을 만들 수도 없다.
“이 계산만 실패하니 다른 평균법으로 항상 한 방향을 주면 되지 않을까?”라는 질문을 붙이자. 출력 M(u,v)는 언제나 길이 1인 방향이고, 입력 순서를 바꿔도 답이 같아야 한다. 두 입력을 같은 각만큼 회전했을 때에는 출력도 그만큼 회전해야 한다. 이것은 특정 북쪽을 다른 방향보다 우선하지 않겠다는 조건이다.
아무 단위벡터 u와 반대 방향 −u를 넣어 보자. 두 입력을 반바퀴 돌리면 순서만 뒤집힌다. 그런데 회전 조건에서는 답이 반대 방향이 되어야 한다.
마지막 결과는 출력 길이 1과 모순이다. 따라서 항상 한 방향을 출력하면서 입력 순서의 대칭성과 전체 회전에 대한 대응을 모두 지키는 평균법은 없다. 단위벡터 평균의 특정 공식만 실패한 것이 아니라, 이 세 요구 자체가 반대 방향 입력에서 충돌한다.
반대 쌍에서는 ‘방향 없음’을 허용하면 충돌을 피한다. 반대 쌍이 아니면 (u+v)/|u+v|는 두 대칭을 만족한다. 반대로 첫 기록의 방향 u를 항상 고르면 회전에는 대응하지만 기록 순서를 바꾸면 답이 달라진다. 언제나 북쪽이라고 정하면 순서에는 대칭이지만 같은 입력을 돌려도 출력이 돌지 않는다. 예외 처리에서 무엇을 포기했는지 드러내야 한다.
NOAA NDBC는 풍속의 숫자 평균, 풍향의 단위벡터 평균, 속력을 포함한 벡터 평균을 구분한다. 그 설명에서 출발했지만 본문의 세 조건과 불가능 증명은 자체 질문이다. 기관이 영벡터를 어떤 누락값으로 실제 기록하는지나 현재 모든 관측 장비의 처리 규칙을 확인했다고 주장하지 않는다.
교사는 ‘평균을 내면 반드시 같은 종류의 한 답이 남는다’는 전제를 점검하게 한다. 방향 없는 출력을 인정하는 일과 편의상 한 방향을 정하는 일은 다르다. 조건 하나를 뺀 두 규칙을 직접 시험하면 불가능 증명이 어느 요구를 사용했는지도 확인할 수 있다.
착안: NOAA NDBC, Wind Averaging Methods. 조건·자체 예·불가능 증명은 새로 작성했다.