두 점수 P₁,P₂는 각각 0과 1 사이의 균등분포다. 작은 점수에서 경보를 울리는 자체 모형이며 실제 검정 자료가 아니다. α=1/5로 두고, 다음 두 규칙의 전체 경보 확률을 비교하자. 두 점수의 독립은 아직 가정하지 않는다.
B는 둘 다 어느 정도 작은 경우도 경보에 추가한다. 각 점수가 균등하다는 사실만으로 B의 전체 확률도 α 이하일까?
독립이면 그렇다. 적어도 한 점수가 α/2 이하일 확률은 α−α²/4이다. 이 사건 밖에서 둘 다 α 이하인 영역은 두 점수가 모두 (α/2,α]에 있는 작은 정사각형이며 확률이 α²/4다. 합하면 α다. 하지만 이 면적 곱은 독립을 사용했다.
Z를 0≤Z<1의 균등 점수로 뽑아 P₁=Z로 놓고, P₂를 아래와 같이 정하자. 이 예의 α는 0<α≤2/3이다.
길이가 α/2인 첫째·셋째 구간만 서로 교환한 규칙이다. 각 구간의 길이와 위치별 밀도를 그대로 보존하므로 P₂도 균등분포다. 모든 경계 한 점의 확률은 0이어서 끝점 포함의 차이는 계산에 영향을 주지 않는다.
첫 구간에서는 P₁이 작고, 셋째에서는 P₂가 작다. 둘째 구간에서는 둘 다 α/2보다 크지만 α 이하여서 B의 추가 조건이 경보를 낸다. 따라서 A는 확률 α, B는 3α/2다. α=1/5이면 B는 3/10으로, 독립일 때의 1/5보다 크다.
이 3α/2는 우연히 만든 큰 예에 그치지 않는다. 어떤 결합 관계에서도 첫 조건의 확률은 두 작은 사건을 더한 α 이하다. 추가 사건은 P₁이 (α/2,α]에 있는 사건의 부분집합이므로 확률 α/2 이하다. 따라서 B의 전체 확률은 3α/2 이하이고 위 구간 교환이 그 상계를 달성한다. 현재 범위 0<α≤2/3에서 모든 균등 주변분포 결합에 대한 정확한 최댓값이다.
NIST의 Bonferroni 설명은 여러 비교의 전체 보장을 다룬다. 여기서는 그 관점에서 출발해 경보를 하나 더 추가한 규칙이 독립 없이도 같은 보장을 갖는지 직접 시험했다. A의 합집합 부등식 자체는 기존 내용이고, B의 독립 계산·임의 의존에서의 날카로운 상계·그 상계의 실제 구성까지가 새 질문이다.
교사는 ‘점수 각각의 분포가 맞는다’는 검산 뒤에 두 점수가 어떻게 함께 만들어졌는지 묻게 한다. 규칙 B를 쓸지의 판단에는 주변분포 두 개보다 결합 조건이 필요하다. 이 자체 예를 현실 자료의 유의성 판정이나 특정 통계 절차의 사용 권고로 바꾸지 않는다.
착안: NIST, Bonferroni method, Uniform Distribution. 경보 규칙·구간 교환·예·증명은 자체 작성했다.