방향을 바꿔 두 번 잰 소리, 두 장치의 속도를 알 수 있을까?

스피커와 마이크를 움직이며 같은 음을 측정하는 모형을 생각하자. 두 장치의 이동 방향을 모두 반대로 바꾸고 다시 재면, 두 진동수 기록으로 각각의 속도를 알아낼 수 있을까? 식이 두 개라는 이유만으로 항상 속도가 하나씩 정해지지는 않는다.

실제 녹음 자료 대신 바람이 없는 이상 모형을 정한다. 공기가 정지한 기준에서 소리의 빠르기는 c>0이며, 스피커는 언제나 같은 진동수 f₀>0를 낸다. 스피커가 마이크의 왼쪽에 있고, 측정 동안 서로 지나치지 않는다. 반사와 잡음도 제외한다.

스피커의 오른쪽 속도 성분을 a, 마이크의 왼쪽 속도 성분을 b라 쓰자. 각 양의 방향은 서로 마주 보는 쪽이다. 반대로 움직이면 그 값은 음수다. 두 속력은 소리보다 작아서 |a|<c, |b|<c다. 좌표 이름만 바꾸는 것이 아니라, 위치를 다시 놓은 둘째 시행에서 실제 이동 방향을 모두 반대로 한다.

UNSW Physclips의 정지한 매질 설명에서 알려진 결합식을 가져온다. 첫 시행의 측정 진동수를 f₀로 나눈 값을 r, 둘째 값을 s라 하면 다음과 같다. 소리의 세기나 녹음의 음량을 비교하는 식은 아니다.

양수 자료 r,s가 주어졌을 때, 이 모형에서 가능한 속도를 전부 찾아보자. 먼저 실제 속도를 구하기 전에 자료 자체가 가능한지 판단한다. 분모가 모두 양수이므로 다음 두 차의 부호는 a+b가 정한다.

a+b가 0이 아니면 하나는 1보다 크고 다른 하나는 1보다 작다. 합이 0이면 두 값은 모두 1이다. 그러므로 두 기록이 모두 원래 진동수보다 높거나 모두 낮은 자료는 불가능하다. 하나만 1인 자료도 다른 하나가 1이어야 한다. 이것은 모든 도플러 측정의 법칙이 아니라, 두 방향을 함께 반전시킨 지금의 두 시행 조건이다.

r≠s이면 각 식의 분모를 곱해 일차 연립방정식으로 바꾼다. 두 식은 ra+b=c(r−1), sa+b=c(1−s)다. 빼면 a가 정해지고 b도 정해진다. 소리의 빠르기에 대한 비 A=a/c, B=b/c로 쓰면 식이 짧아진다.

하지만 계산한 두 값이 소리보다 느린지는 아직 확인해야 한다. r>1>s를 먼저 보자. D=r−s는 양수이며 네 값을 다음처럼 정리할 수 있다.

네 값이 모두 양수여서 −1<A<1, −1<B<1이다. 따라서 계산한 속도는 허용 범위에 들어간다. 원래 두 식에 되돌려 넣으면 r,s도 정확히 만들어 낸다. r<1<s는 두 시행을 맞바꾸어 같은 증명을 쓸 수 있고, 속도 성분의 부호만 바뀐다. 가능한 자료를 찾은 뒤, 그 자료를 실제로 만드는 모형 속도까지 구성한 셈이다.

예외인 r=s도 따로 확인하자. 두 일차방정식을 빼면 0=2c(r−1)이므로 r=s=1이어야 한다. 이때는 a+b=0만 남아 a를 −c와 c 사이에서 자유롭게 고르고 b=−a로 놓을 수 있다. 실제 오른쪽 방향으로 보면 두 장치의 속도는 모두 a다. 같이 움직이면 간격이 바뀌지 않는다. 두 진동수에 변화가 없다는 기록은 두 장치가 모두 정지했다는 증거가 아니다.

같은 첫 기록 r=3/2를 갖는 자체 예도 비교해 보자. 둘째 값이 3/4이면 a=c/3, b=0이어서 스피커만 움직인다. 둘째 값이 1/2이면 a=0, b=c/2이어서 마이크만 움직인다. 둘째 관측이 첫째와 다른 조건을 준다는 점을 확인할 수 있지만, 예외 자료까지 유일하게 만드는 것은 아니다.

교사는 ‘식 두 개, 미지수 두 개’라는 답 옆에 세 가지 검사를 남기게 한다. 두 기록이 양립하는지, 계산한 속도가 허용 범위에 드는지, 예외에서도 해가 유일한지를 각각 묻는다. 측정 오차가 있는 실제 장치의 속도를 정확히 복원했다는 결론이나, 원전의 음원을 직접 들었다는 보고는 하지 않는다.

착안: UNSW School of Physics, Physclips: The Doppler Effect의 전체 의미 텍스트와 음원·관측자 결합식 이미지를 읽었다. 알려진 도플러 식 자체는 새 문항으로 세지 않는다. 두 실제 이동 반전 시행의 허용 자료와 모든 속도 가족을 묻는 문항·수치·증명은 자체 작성했으며, 원문의 영상·음원·그림·문장 순서를 옮기지 않았다.