막 뒤로 관측선을 멀리 옮기면 그림자가 퍼진다. 그때 빛이 전혀 통과하지 않는 부분도 같이 넓어질까? 다음은 같은 단위를 쓰는 자체 평면 모형이다. 광원은 x=0의 선분 −R≤s≤R, 불투명한 막은 x=a의 선분 −r≤y≤r이고 R>r>0, a>0이다. 관측선은 x=b, b>a에 둔다. 각 광원점에서 관측점으로 잇는 직선 광선을 모두 허용하고, 막의 끝점에 닿아도 막힌다고 정한다.
이 식은 광원점(0,s)과 관측점(b,y)을 잇는 직선이 x=a에서 갖는 높이다. q=ay/b, A=R(1−a/b)>0로 놓으면 그 높이 전체는 [q−A,q+A]다. 모든 광선이 막히려면 이 구간 전체가 [−r,r] 안에 있어야 한다. 광선 하나라도 막히면 되는 경우에는 두 구간이 한 점에서라도 만나면 된다.
완전차폐 범위는 U>0이면 −U≤y≤U, U=0이면 y=0 한 점, U<0이면 없다. 경계 거리는 b*=aR/(R−r)다. 이 거리보다 가까울 때만 양의 길이의 완전차폐 구간이 있다. 경계의 한 점을 길이가 양수인 구간으로 세지 않는다.
광선 하나라도 막히는 범위는 항상 −P≤y≤P다. b가 커지면 P는 증가하지만 U는 감소한다. 두 범위를 같은 그림자 폭이라고 부르면 반대 변화를 놓친다. R=2, r=1, a=3인 자체 값의 결과를 나란히 보자.
| 관측 거리 b | 모든 광선이 막히는 범위 | 한 광선 이상 막히는 범위 |
|---|---|---|
| 4 | −2/3≤y≤2/3 | −2≤y≤2 |
| 6 | y=0 한 점 | −4≤y≤4 |
| 9 | 없음 | −7≤y≤7 |
바깥 경계 |y|=P에서는 광원 끝점의 광선 하나만 막힌다. 이것을 양의 광량이 줄었다는 조도 측정으로 바꾸지 않는다. 본문은 직선 광선의 통과 여부이며 광원 밝기·회절·구형 천체나 실제 일식의 면적을 계산하지 않았다.
NASA는 달에서 멀어지는 본그림자가 좁아지고, 본그림자가 닿지 않을 때도 일부 차폐가 남는 상황을 설명한다. 그 구별에서 착안하여 선분 광원·막의 자체 조건과 모든 거리의 경계를 새로 증명했다. 교사는 풀이의 ‘모든’과 ‘하나라도’에 표시하게 한다. 같은 광선 높이 구간에서 포함 조건과 교집합 조건 중 무엇을 계산하는지가 답을 갈라놓는다.
착안: NASA Science, Why Do Eclipses Happen?. 선분 모형·수치·거리별 분류·문항·증명은 새로 작성했다.