제곱이 실수라는 조건과 양의 실수라는 조건은 다르다

복소수 z=a+bi에서 a, b는 실수다. z²이 실수이면 z도 반드시 실수일까?

z²이 실수일 조건은 ab=0이다.

예를 들어 z=2i이면 z²=−4는 실수다. 따라서 z²이 실수라는 조건만으로 z가 실수라고 할 수 없다.

“양의 실수”로 바꾸면

a=0인 경우에는 z²=−b²≤0이므로 양의 실수가 될 수 없다. 따라서 z²이 양의 실수라면 b=0, a≠0, 곧 z는 0이 아닌 실수다.

z²=0인 경우에는 z=0이다. “실수”와 “양의 실수” 사이의 한 단어가 가능한 수의 범위를 바꾼다.

중국의 조건 점검 노트를, 비슷해 보이는 두 문장을 같은 전개식으로 나란히 검토하는 문제로 바꿨다.

출처·착안: 「高中数学」易错点以及不自然处整理. 문항과 풀이는 새로 작성했다.