판별식이 양수인 것과 양의 정수 두근은 다른 조건이다

x^2-5x+m=0\qquad(m\in\mathbb Z)

두 근이 모두 양의 정수가 되도록 m을 구하자. 판별식과 두 근의 부호만 확인해도 될까?

두 근을 r, s라 두면

r+s=5,\quad rs=m

양의 정수 두 근	m
1, 4	4
2, 3	6

따라서 답은 m=4 또는 6이다. 순서를 바꾼 두 근은 같은 m을 준다.

판별식에서 빠진 조건

D=25−4m≥0, m>0만 쓰면 정수 m=1, 2, 3, 4, 5, 6이 남는다. 그러나 m=1이면

x=\frac{5\pm\sqrt{21}}2

로 정수가 아니다. 정수 두 근을 요구하면 마지막에 정수쌍이나 판별식의 제곱수 조건까지 확인한다.

해외 인수분해 글에서 다룬 ‘방정식의 해를 구하는 목적’을, 해의 종류가 답을 바꾸는 비교로 재구성했다.

출처·착안: Factorising Harder Quadratics. 문항과 풀이는 새로 작성했다.