정리하면 x인데, x=0은 넣을 수 없는 합성함수

f(x)=\sqrt{x-1},\qquad g(t)=t^2+1

각 식이 정의되는 실수 전체를 정의역으로 둔다. g(f(x))=x로 정리되면 정의역도 실수 전체일까?

합성 순서	식	정의역
g∘f	x	x≥1
f∘g	√(t²)=\|t\|	실수 전체

첫 번째는 f(x)를 먼저 계산하므로 x≥1이 남는다. x=0은 정리한 식에 넣을 수 있어도 원래의 합성함수에는 넣을 수 없다.

(g\circ f)(x)=x\quad(x\ge1)

반대 순서에서는 t²+1≥1이 항상 성립한다. t=−2에서 함수값은 2이며 −2가 아니다.

Seeing the Chain Rule의 대응하는 입력 비교를, 미분 전에 합성의 정의역을 점검하는 질문으로 바꿨다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Seeing the Chain Rule」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.