같은 평면의 네 점, 구의 중심을 위로 올리면 모두 지날까?

A=(0,0,0),\quad B=(2,0,0),\quad C=(0,2,0),\quad D=(1,1,0).

네 점을 모두 지나는 구가 있는가? 네 점이 같은 평면에 있으므로 중심의 높이를 바꾸면 가능하다는 답을 검토하라.

구의 중심을 S=(a,b,c)라 한다. SA²=SB²에서 a=1, SA²=SC²에서 b=1을 얻는다. 따라서 처음 세 점을 지나는 구의 중심은 (1,1,c)이고 반지름의 제곱은 2+c²다.

그런데 D까지 거리의 제곱은 c²이다.

SD^2=c^2\ne 2+c^2=SA^2.

어떤 높이 c를 택해도 차 2가 남는다. 그러므로 네 점을 모두 지나는 구는 없다.

중심의 높이를 바꾸면 네 점까지 거리의 제곱에 같은 c²가 추가된다. 평면 안에서 이미 달랐던 거리의 제곱 차를 지우지 못한다. 문자 하나를 자유롭게 바꿀 수 있다는 사실만으로 다른 조건까지 맞출 수는 없다.

처음 세 점은 한 직선 위에 있지 않으며 평면 안에서 중심 (1,1), 반지름 √2인 원을 정한다. D는 그 원의 중심으로 경계 위가 아니다. 같은 평면의 네 점이라는 조건만으로 같은 원 위 조건이 생기지 않는다.

문항에서는 구의 표면을 지나야 한다고 읽는다. 구 내부에 네 점을 모두 넣는 질문이라면 충분히 큰 구를 고를 수 있어 다른 문제다. 포함과 경계 통과의 조건을 바꾸지 않는다.

해설에 높이 c를 그대로 남기면 왜 조정이 불가능한지 드러난다. 특정 중심 하나에서 실패했다는 반례만으로 모든 중심이 불가능하다고 끝내지 않고, 세 점 조건에서 가능한 중심 전체를 정한 뒤 네 번째 점을 검사한다.