추정한 빨강 공이 10.5개, 반올림하면 구성까지 확정될까

\text{총 30개인 상자},\qquad \text{20회 중 빨강 7회}

매번 각 공을 같은 확률로 골라 되돌리고 섞으며 독립적으로 뽑았다. 빨강 수를 $30\cdot7/20=10.5$ 로 추정했으니 반올림한 11개가 실제 수일까?

실제 빨강 수 k는 0부터 30까지의 정수다. k=10이면 한 회의 빨강 확률은 1/3, k=11이면 11/30이다. 두 경우 모두 20회 중 빨강 7회가 나올 수 있다.

P(X=7)={}_{20}C_7 \left(\frac{k}{30}\right)^7 \left(1-\frac{k}{30}\right)^{13}.

이 확률은 1≤k≤29에서 양수다. k=0이나 30이면 관찰된 빨강 7회·그 밖의 색 13회가 불가능하다.

가능한 구성들을 모두 같은 정도로 그럴듯하다고 말하는 것은 아니다. 답안에는 ‘추정값 10.5’, ‘실제 수는 정수’, ‘11로 확정할 수 없다’를 구별해 쓰게 하자. 반올림은 새로운 관찰 정보를 추가하지 않는다.

출처·착안: Sarah Carter, 「Mystery Box Probability Activity」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.