두 변과 한 각이 주어져도 삼각형이 둘일 수 있다

a=5,\quad b=8,\quad A=\pi/6

삼각형 ABC에서 a=BC,b=CA,c=AB이며, A는 꼭짓점 A의 각이다. 각의 크기는 호도법이다. 주어진 각은 두 주어진 변의 끼인각이 아니다. c가 하나로 정해질까?

코사인법칙 a²=b²+c²−2bccosA에서 c²−8√3c+39=0이다. 따라서 $\boxed{c=4\sqrt3+3\text{ 또는 }4\sqrt3-3}$ 이다.

두 값은 모두 양수이며 3<c<13도 만족한다. 약 3.928과 9.928로 실제 삼각형이 된다. 방정식의 해를 얻은 뒤 길이 조건까지 검사해야 한다.

사인법칙에서는 sinB=4/5다. B가 예각인 경우와 둔각인 경우 모두 A+B<π다. 같은 밑변 CA=8을 두고 두 가능한 B를 표시하게 하자. ‘두 변과 한 각’이라는 말만 쓰지 않고 그 각이 끼인각인지 확인하면, 두 풀이가 같은 두 삼각형을 설명함을 볼 수 있다.