이 문항은 앞 항에 0을 곱하는 관계로 직접 수열을 정의한다. 항은 5,0,0,…이다. aₙ₊₁/aₙ에 0/0이 나오면 수열 자체도 없다는 답이 맞을까?
곱 관계는 모든 양의 정수 n에서 성립한다. 반면 항의 비는 n=1에서 0/5=0이지만 n≥2에서는 0/0이라 정의되지 않는다. 나눗셈 표현을 쓸 수 없는 것과 주어진 수열이 존재하지 않는 것은 다르다.
일반항은 a₁=5,aₙ=0(n≥2)으로 나누어 쓴다. 0⁰의 해석을 사용하지 않아도 처음 n항의 합은 모두 Sₙ=5이고 급수도 5로 수렴한다.
화살표 5→0→0에는 ‘0을 곱한다’를, 항의 비 표에는 ‘정의되지 않음’을 함께 적게 하자. 첫째항도 0인 별도 수열은 어느 수를 곱해도 모든 항이 0이다. 그때 항의 비로 곱하는 수가 하나로 정해진다고 말할 수도 없다.
출처·착안: Lin McMullin, 「Geometric Series – Far Out」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.