이 부등식의 해를 구하라. 두 변을 제곱해 x+1≥(x−1)²에서 0≤x≤3만 답한 풀이를 검토한다.
정의역은 x≥−1이다. −1≤x≤1에서는 왼쪽이 0 이상이고 오른쪽이 0 이하이므로 원래 부등식이 자동으로 성립한다. 이 구간을 제곱한 부등식으로 바꾸면 원래 참이었던 음수 입력을 잃을 수 있다.
x>1에서는 양변이 양수이므로 제곱해도 동치다. x+1≥x²−2x+1에서 x(x−3)≤0, 따라서 1<x≤3이다. 두 경우를 합하면
x=−1에서는 0≥−2로 참이지만 제곱한 0≥4는 거짓이다. 이 한 입력으로 ‘제곱은 부등식을 항상 보존한다’는 주장을 반박할 수 있다.
채점에서는 정의역을 쓴 줄과 제곱이 가능한 부호 조건을 쓴 줄을 따로 본다. 정의역만 확인해도 제곱의 동치 조건까지 확보된 것은 아니다. 원래의 식에 −1,1,3을 넣어 세 경계를 다시 확인한다.
출처·착안: New GCSE: Inequalities. 문항과 풀이는 새로 작성했다.