수와 역수의 합이 실수라고, 원래 수도 실수일까?

z\ne0,\qquad z+\frac1z\in\mathbb R

조건을 만족하는 복소수 z를 모두 분류하라.

z=a+bi로 놓으면 a,b는 실수이고 a²+b²>0이다.

\frac1z=\frac{a-bi}{a^2+b^2},\qquad \text{합의 허수부}=b\left(1-\frac1{a^2+b^2}\right).

따라서 b=0 또는 a²+b²=1이다. 첫 경우에는 a≠0인 모든 실수, 둘째에는 실수가 아닌 복소수도 포함된다. 두 경우를 원래의 식에 넣으면 허수부가 0이므로 모두 충분하다.

z=±1은 두 경우에 함께 들어간다. b로 나누면 실수인 경우를 잃고, a²+b²=1만 적으면 z=2를 빠뜨린다. 학생 답안에는 분류의 겹침과 처음의 z≠0 조건까지 남긴다.