수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

전체 적분이 2라면, 절반 구간의 적분도 1일까?

전체 적분을 절반 구간에 비례 배분할 수 있을까

초록 숲 사이로 크게 굽이치는 강의 공중 모습

사진: Hillebrand Steve, U.S. Fish and Wildlife Service · Public domain · 원본 출처

f는 [0,2]에서 연속,∫02f(x) dx=2.f\text{는 }[0,2]\text{에서 연속},\qquad\int_0^2f(x)\,dx=2.

∫01f(x) dx=1\int_0^1f(x)\,dx=1이어야 할까? 함수값의 부호는 제한하지 않는다.

fc(x)=1+c(x−1)(c∈R)f_c(x)=1+c(x-1)\qquad(c\in\mathbb R)

로 두면 모든 cc에서 전체 적분은 2다. 그러나

∫01fc(x) dx=1−c2.\int_0^1f_c(x)\,dx=1-\frac c2.

따라서 절반 구간의 적분은 모든 실수값이 가능\boxed{\text{모든 실수값이 가능}}하다. 원하는 값 MM에 c=2(1−M)c=2(1-M)을 넣으면 된다.

구간 길이를 반으로 줄였다는 사실만으로 적분값을 반으로 나누지 않는다. c=0,2,−2c=0,2,-2인 세 함수의 전체 적분은 같지만 절반 적분은 각각 1, 0, 2다. 음수 함수값을 허용한 조건도 답안에 남긴다.

출처·착안: Average Value of a Function. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.