수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

길이 1인 모든 구간에서 적분 0, 함수도 늘 0일까?

모든 길이1 구간에서 적분이 0이어도 함수가 0인 것은 아니다

작은 물결과 나뭇가지가 함께 비친 수면

사진: Radomianin · CC BY-SA 4.0 · 원본 출처

∫xx+1f(t) dt=0(x∈R)\int_x^{x+1}f(t)\,dt=0\qquad(x\in\mathbb R)

실수 전체에서 연속인 ff가 항상 0이어야 할까?

적분한 함수를 G(x)G(x)라 두면 G′=f(x+1)−f(x)=0G'=f(x+1)-f(x)=0이다. 따라서

f(x+1)=f(x),∫01f(t) dt=0.f(x+1)=f(x),\qquad\int_0^1f(t)\,dt=0.

반대로 이 두 조건이면 G′=0G'=0이어서 평균값의 정리로 GG는 상수다. G(0)=0G(0)=0이므로 처음 조건을 만족한다.

반례 f(t)=sin⁡(2πt)f(t)=\sin(2\pi t)는 어떤 길이 1인 구간에서도 적분이 0이지만 f(1/4)=1f(1/4)=1이다.

고정된 아래끝 0에서 모든 위끝까지 적분한 조건과, 길이 1을 유지하며 두 끝이 함께 움직이는 조건을 나란히 제시하자. 어느 구간들을 확인했는지가 달라진다.

출처·착안: Good Question 14. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.