치환한 양끝은 같은데, 두 적분이 모두 0은 아니다

2026.09.30

치환한 두 끝이 같아도 도함수 인수가 있는지를 먼저 본다

사진: Frank van Mierlo, May 1, 2006 · Public domain · 원본 출처

I=\int_{-1}^1 2x e^{x^2}\,dx,\qquad J=\int_{-1}^1 e^{x^2}\,dx.

$u=x^2$ 이면 두 끝이 모두 1이므로 $I=J=0$ 이라는 답을 검토하자.

(e^{x^2})'=2x e^{x^2},\qquad I=[e^{x^2}]_{-1}^1=\boxed0.

이 계산은 $2x$ 라는 도함수 인수를 실제로 사용한다. $J$ 에는 그 인수가 없다. $[-1,1]$ 에서 $e^{x^2}\ge1$ 이므로 $\boxed{J\ge2>0}$ 다.

같은 두 끝만 확인하지 않는다. $x=-1$ 에서 0까지는 $u$ 가 1에서 0으로, 0에서 1까지는 0에서 1로 움직인다. $I$ 의 정확한 도함수 관계와 $J$ 의 빠진 인수를 따로 표시하게 하자.

출처·착안: Seeing the Chain Rule. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.