더한 정보를 원래대로 돌리려면 음수 성분이 필요한가

A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\qquad AB=E.

E는 2행 2열 단위행렬이다. 실수 성분의 2행 2열 행렬 B를 구하라. 모든 성분이 0 이상인 B도 가능한가?

B=[[p,q],[r,s]]라 놓으면 AB=[[p+r,q+s],[r,s]]다. 네 성분 비교로 r=0,s=1,p=1,q=−1을 얻는다.

B=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix},\qquad AB=BA=E.

B는 이 하나뿐이고 1행 2열이 −1이다. 따라서 모든 성분이 0 이상인 B는 없다. A는 두 번째 성분을 첫 번째 성분에 더한다. 다시 원래대로 돌리려면 그 값을 빼야 한다.

예를 들어 A[2;3]=[5;3]이고 B[5;3]=[2;3]이다. 평균으로 바꾸어 서로 다른 두 값을 같게 만드는 행렬과는 다르다. AB=E를 확인한 답에도 BA를 직접 계산하게 한다. 추가 조건의 불가능을 설명할 때는 반드시 음수가 되는 위치까지 표시한다.

출처·착안: srcav, 「Grid Method Matrix Multiplication」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.