s는[0,2]에서 연속이고 내부에서 두 번 미분가능하다. 같은 직선 위 물체의 위치를 s라고 하자. 출발 위치와 도착 위치가 같다는 정보에 양의 가속도를 더하면, 그 사이 위치의 부호를 알 수 있을까?
가속도가 양수이므로 속도 s′는 내부에서 엄밀히 증가한다. 0<t<2를 하나 고정하고 [0,t]와[t,2]에 평균값 정리를 따로 적용한다.
양의 t(2−t)를 곱하면2s(t)<0이므로 s(t)<0이다. 물체는 내부의 모든 시각에 원점의 음수 쪽에 있다.
롤의 정리로 속도가0인 내부 시각이 적어도 하나 있다. 속도가 엄밀히 증가하므로 그런 시각은 하나뿐이다. 그 전에는 음수 방향으로, 그 뒤에는 양수 방향으로 움직인다.
같은 위치로 돌아왔다는 조건만으로 이런 결론을 낼 수는 없다. 이 풀이에서는 양의 가속도가 두 순간 속도의 순서를 정하는 줄에 쓰인다. 두 평균변화율과 실제 순간 속도를 같은 표에 기록하면 조건의 역할이 보인다.
출처·착안: Lin McMullin, 「Matching Motion」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.