평균변화율이 양수라는 기록은 물만 들어오는 조건과 맞을까

\frac{V(t)-V(0)}{t}=6-t^2,\qquad V(0)=0,\qquad0<t\le2.

t는 분, V(t)는 물통의 물의 양(L)이다. 펌프로 물만 들어오며 배수·누수·넘침은 없다. 빈 물통에서 출발한 위 기록은 가능할까? 평균변화율이 끝까지 양수이므로 가능하다는 답을 검토하자.

양수인 t를 곱하면 V(t)=6t−t³다. 분당 들어오는 물의 양은 V′(t)여야 하므로

I(t)=6-3t^2<0\qquad(\sqrt2<t\le2).

이 시간에는 물이 줄어야 해서 조건에 어긋난다. 미분 없이도 V(1)=5L인데 V(2)=4L라는 두 값으로 반박할 수 있다. 평균변화율이 양수라는 말은 처음의 빈 물통보다 양이 많다는 뜻이다. 직전 시각보다 늘었다는 뜻은 아니다.

그렇다면 기록의 시간 범위를 어디까지 줄이면 가능할까? $0<t\le\sqrt2$ 에서는 $I(t)=6-3t^2\ge0$ 이고

V(t)=\int_0^t(6-3u^2)\,du=6t-t^3

가 초기량 0과 기록을 모두 만족한다. 이 범위에서는 실제로 물만 들어오는 상황을 만들 수 있다. t=0에서는 평균변화율의 분수를 계산하지 않는다.

√2분에 펌프를 끈 뒤에도 같은 기록을 쓸 수 있는지 묻자. 이후 물의 양은 4√2L로 일정하므로 평균변화율은 4√2/t다. 펌프를 끄면 상황은 가능해져도, 6−t²라는 기록을 유지할 수는 없다.

출처·착안: Lin McMullin, 「The Old Pump」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.