각 합 공식으로 A=1/(1−x), B=1/(x−1)이므로 A+B=0이라는 풀이를 검토한다. 두 급수가 동시에 수렴하는 실수x가 있는지 먼저 확인한다.
A는|x|<1에서 수렴한다. B는 공비1/x이고 첫째항1/x가0이 아니므로 |1/x|<1, 즉 |x|>1에서 수렴한다. 두 범위는 겹치지 않는다.
따라서 두 급수의 합A+B를 함께 정의할 수 있는 실수x는 없다. 유리식 두 개가 대수적으로 서로 반대라는 사실이 급수의 수렴 범위를 없애지는 않는다.
x=1과−1에서는 각각의 급수도 수렴하지 않는다. x=0에서는 A가1이지만 B의 항이 정의되지 않는다. 이 경계들도 별도로 확인한다.
공식을 대입한 다음 약분하면 범위가 보이지 않기 쉽다. 식 두 개 옆에 수렴 범위를 먼저 쓰고 교집합을 표시한다. 존재하지 않는 두 합을 계산해0을 얻은 것과, 정의된 합이0인 것은 다른 주장이다.
출처·착안: Lin McMullin, 「Geometric Series – Far Out」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.