두 바깥 함수 모두 f′(g(0))=f′(0)=0이다. 그러므로 합성함수가0에서 미분가능하다는 주장을 두 함수에 각각 적용한다.
f₁∘g는0의 왼쪽과0에서0, 오른쪽에서1이다. 연속이 아니므로 미분가능하지 않다. 바깥 함수가 입력0 근처에서 완만하다는 사실은 안쪽 함수가1로 뛰는 변화를 막지 못한다.
f₂∘g는 모든 실수에서0이다. f₂가 안쪽 함수의 두 출력0과1을 모두0으로 보내기 때문에 이 합성함수는 실제로 미분가능하며 도함수도0이다.
두 결과는 같은 바깥 미분계수0을 갖지만 다르다. 합성함수의 미분법에 g′(0)을 넣을 조건도 없다. 정의되지 않은 g′(0)에0을 곱해 전체 값을0이라고 정할 수 없다.
먼저 안쪽 함수의 양쪽 출력과 바깥 함수가 그 출력에 주는 값을 표로 확인한다. 안쪽의 연속성이 없는 상황에서는 한 점의 바깥 미분계수만으로 합성의 연속성도 판정하지 않는다.
출처·착안: Lin McMullin, 「Derivative Practice – Graphs」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.