세 등비수열 항의 곱이 −64라면, 가운데는 정해져도 공비는 안 정해진다

a,\ ar,\ ar^2\in\mathbb R,\qquad a\ne0,\ r\ne0,\qquad a\cdot ar\cdot ar^2=-64

연속한 세 등비수열 항의 곱이 −64다. 가운데 항과 공비가 각각 하나로 정해지는지 판단하고 가능한 모든 세 항을 공비 r로 표현하라. 항들이 모두 양수라는 조건을 추가하면 가능한지도 확인한다.

ar=-4,\qquad(a,ar,ar^2)=\left(-\frac4r,-4,-4r\right)\quad(r\ne0)

세 항의 곱은 (ar)³다. 실수에서 세제곱 함수는 일대일이므로 가운데 항은 −4로 하나뿐이다. 그러나 ar=−4를 만족하는 a는 −4/r라서 공비는 0이 아닌 어떤 실수도 가능하다. 표시한 세 항을 곱하면 항상 −64가 되고 이웃 비도 모두 r이다. 예를 들어 r=2이면 (−2,−4,−8), r=−2이면 (2,−4,8)이다. 가운데가 하나로 정해졌다는 사실을 수열 전체의 유일성으로 확장할 수 없다. 세 항이 모두 양수이면 곱도 양수여야 하므로 추가 조건 아래에서는 해가 없다.

교사 질문: 두 끝 항이 모두 양수라는 조건만 추가하면 r의 부호가 어떻게 제한되는지 확인하자.

출처·착안: Problem of the Week E: A Geometric Problem (2024–2025). 위 문항의 조건·수치·풀이와 교사 질문은 새로 작성했다.