첫 항이 0이 아닌 등비수열, 세 항은 합이 0이 될 수 없다

a\ne0,\quad r\in\mathbb R,\qquad S_3=a(1+r+r^2),\quad S_4=a(1+r+r^2+r^3)

0이 아닌 첫 항을 갖는 실수 등비수열이다. 세 항의 합을 0으로 만드는 공비와 네 항의 합을 0으로 만드는 공비가 존재하는지 각각 구하라. 음의 공비면 언제나 합이 상쇄된다는 설명을 검토한다.

1+r+r^2=\left(r+\frac12\right)^2+\frac34>0,\qquad S_4=0\iff r=-1

a가 0이 아니므로 세 항의 합이 0이 되려면 1+r+r²=0이어야 한다. 이 이차식은 완전제곱식에 양수 3/4를 더한 값이어서 어떤 실수 r에서도 0이 되지 않는다. 네 항에서는 1+r+r²+r³=(1+r)(1+r²)다. 실수 r에 대해 1+r²>0이므로 합이 0인 유일한 공비는 −1이다. 그때 항은 a,−a,a,−a로 정확히 상쇄된다. 음의 공비 자체보다 항 수와 상쇄되는 짝의 구조가 결론을 정한다. 첫 항을 0으로 허용하면 합이 늘 0인 다른 경우가 추가되므로 제외 조건을 남긴다. 네 항의 합을 인수분해하면 실수에서 0이 될 수 있는 인수가 무엇인지 드러난다.

교사 질문: 홀수 개와 짝수 개의 항에서 공비 −1을 대입한 합을 비교해 일반 추측을 세우게 하자.

출처·착안: Problem of the Week E: A Geometric Problem (2024–2025). 위 문항의 조건·수치·풀이와 교사 질문은 새로 작성했다.