0으로 가는 양수 항들의 곱에 n제곱근을 취해도 0으로 간다

a_n>0,\qquad a_n\longrightarrow0,\qquad b_n=(a_1a_2\cdots a_n)^{1/n}.

b_n의 극한을 증명하라. 로그를 취한 뒤 ln0을 유한한 수처럼 계산한 답을 검토한다.

임의의 ε>0에 대해 어떤 N 뒤에서는 a_k<ε다. 처음 N항의 곱을 C>0이라 놓으면 n>N에서

0<b_n\le C^{1/n}\varepsilon^{1-N/n}.

오른쪽은 ε로 간다.0으로 간다는 결론을 정확히 쓰려면 임의의 δ>0에 대해 ε=δ/2를 먼저 고른다. 그 ε에 맞춘 C,N은 고정되어 있고 오른쪽 식은 결국 δ보다 작아진다. 따라서 b_n→0이다.

처음의 몇 항이 매우 커도 고정된 곱 C의 n제곱근은1로 가므로 끝없이 작은 항들의 효과를 막지 못한다. a_n=1/n처럼 모든 항이 양수인 경우도 포함한다.

로그로 쓴 식 ln b_n=(1/n)∑ln a_k 자체는 맞지만 ln0은 정의되지 않는다. 유한한 극한값의 평균을 계산하는 공식에 그대로 넣을 수 없다. 채점에서는 작은 ε를 먼저 정한 뒤 처음 항의 곱을 고정한 순서가 드러나는지 확인한다.