태양 기준 행성 속도를 u=(3,0)으로 둔다. 나가는 행성 기준 속력은4이고 w=(4cosθ,4sinθ)이다. 모형의 허용 범위가 π/6≤θ≤π/3일 때 태양 기준 나가는 속력의 최소·최대를 구하라. 방향을 자유롭게 정할 때의 최대7을 그대로 쓸 수 있는가?
각도 제약 아래의 벡터 최적화
|u+w|²=(3+4cosθ)²+(4sinθ)²=25+24cosθ다. 주어진 범위에서 cosθ는 √3/2에서1/2로 감소하므로 제곱 속력은25+12√3부터37까지다.
최소 속력은√37, 최대는√(25+12√3)이다. 자유 방향의 최대7은 θ=0에서 나오지만 이 각도는 허용 범위 밖이다. 속력4가 같다는 조건 외에 방향 제약을 적용한 결과다. 이 각도 범위는 교육용 가정이며 실제 임무의 허용 범위가 아니다.
최댓값을 계산하기 전에 가능한 θ를 그림에 표시하게 한다. 상한7과 실제 달성 가능한 최댓값을 구별하고, 최적 입력이 조건 안에 있는지 검산한다.
허용 범위에0을 추가하면 최댓값은 바뀌는가? 최소값은 유지되는가?
착안 원문: What are gravity assists?. 행성 기준 속력을 보존해도 허용 방향의 제약이 남는다는 점을 각도 최적화 문제로 만들었다.