O와 E는 같은 크기의 영행렬과 단위행렬이다. A²=O도 반드시 성립하는지 증명하라. 거듭제곱의 수를 임의로 줄여도 된다는 풀이와 구별한다.
A=[[a,b],[c,d]], t=a+d, δ=ad−bc로 놓고 성분을 전개하면 A²−tA+δE=O다. δ≠0이면 B=(tE−A)/δ에 대해 AB=BA=E다. 이 경우 A³B³=E인데 A³=O여서 모순이다. 따라서 δ=0이다.
A=O면 결론은 바로 맞는다. A≠O면 0이 아닌 성분 하나에 t²를 곱해0이므로 t=0이고 A²=O다.
크기를 바꾸면 같은 주장은 거짓이다. 3행 3열에서 첫째 행 둘째 열과 둘째 행 셋째 열만1인 행렬은 세 번 곱하면0이지만 두 번 곱한 첫째 행 셋째 열은1이다. 답안에서 핵심은 주어진 크기가 만든 성분 등식이며, A³에서 A를 지운 계산이 아니다.
출처·착안: srcav, 「Grid Method Matrix Multiplication」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.