모든 정수에서 정수값을 주어도 다항식의 계수는 정수가 아닐 수 있다

P(x)=ax^2+bx+c,\quad a,b,c\in\mathbb R,\qquad P(n)\in\mathbb Z\quad(n\in\mathbb Z).

가능한 계수 조건을 구하라. 정수 입력마다 정수 출력이므로 a,b,c가 모두 정수라는 답을 검토한다. a=0도 허용한다.

P(0),P(1)−P(0),P(2)−2P(1)+P(0)을 계산하면 c,a+b,2a다. 따라서 이 세 수가 정수여야 한다.

P(n)=c+(a+b)n+(2a)\frac{n(n-1)}2.

반대로 c,a+b,2a가 정수이면 모든 정수 n에서 n(n−1)/2가 정수라 P(n)도 정수다. 음의 n도 두 연속 정수의 곱이 짝수이므로 포함된다.

\boxed{c,\ a+b,\ 2a\in\mathbb Z.}

P=x(x−1)/2는 실제 모든 정수 입력에서 정수지만 a=1/2,b=−1/2다. 처음 세 값의 조건만으로 충분한 이유는 차수가2 이하인 식을 마지막 형태로 정확히 다시 쓸 수 있기 때문이다. 출력의 정수 조건과 계수의 정수 조건을 서로 바꾸어 읽지 않는다.