로그 제곱을 x로 나눈 함수의 최대는 정의역을 넓히면 사라진다

F(x)=\frac{(\ln x)^2}{x}\qquad(x\ge1).

F의 최댓값을 구하고, 정의역을 모든 x>0으로 바꾸면 같은 답인지 검토하라. 로그의 제곱이0 이상이라는 사실만으로 최대를 정하지 않는다.

F′=(ln x)(2−ln x)/x²다. x≥1에서 e²까지 증가하고 그 뒤 감소한다. 양끝 값은 F(1)=0과 x→∞에서0이다.

\boxed{x\ge1:\ \max F=4/e^2\text{이며 }x=e^2.}

하지만 0<x<1에서는 ln x가 음수라 도함수도 음수다. x→0+에서 F→∞이므로 전체 양수 정의역에서는 최댓값이 없다. 새 구간에서는 기존의 꼭대기보다 큰 값이 얼마든지 있다.

x=e²는 여전히 주변에서 최대인 점이지만 전체에서 가장 큰 값을 갖는 점은 아니다. 답안의 도함수 계산을 고칠 문제가 아니라, 사용한 정의역과 양끝 극한을 보완할 문제다. 후보를 찾은 뒤 추가된 구간의 부호와 값을 확인한다.