F₁=(−1,0), F₂=(1,0)에서 두 거리의 곱이4인 점들을 생각한다. 축 위 네 점을 구해 x²/5+y²/3=1인 타원이라고 결론낸 답안을 검토하라.
x축에서는|x+1||x−1|=4여서 x=±√5다. y축에서는 두 거리가 같아1+y²=4, y=±√3다. 제시한 타원은 실제로 이 네 점을 지난다.
그러나 타원 위 점 Q=(1,√(12/5))를 검사하면
Q는 x²/5+y²/3=1을 만족하지만 거리의 곱이4라는 조건은 만족하지 않는다. 축 위 네 점이 일치한다고 자취 전체가 같지는 않다.
거리의 곱 조건을 직접 식으로 쓰면
거리는 음수가 아니므로 이 식은 곱이4라는 조건과 동치다. 이를 주어진 타원의 식으로 바꾸는 과정에는 근거가 없다. 현재 문항에서 새 곡선의 이름이나 전체 모양을 구할 필요는 없다.
교사는 일부 점이 맞는 검사와 모든 점이 맞는 검사를 구별한다. 후보 타원의 점 하나가 원래 조건을 어기면 전체가 같은 자취라는 주장은 바로 반박된다. 반대로 몇 점이 맞는다는 사실만으로 전체의 동치는 증명되지 않는다.
타원이라는 결론을 먼저 정하고 축 교점을 맞춘 학생에게 축 밖의 점을 하나 고르게 할 수 있다. Q의 좌표는 복잡해 보여도 두 거리 제곱의 곱은 유리수로 정확히 비교할 수 있다.
축 위 네 점은 원래 조건과 후보 타원의 공통점으로 남는다. 한 점에서 실패했다고 두 자취가 전혀 만나지 않는다는 결론도 아니다. 전체가 같은지 검토한 반례다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Classifying Conic Sections Flow Chart」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.