주머니 A에는 빨강1개·파랑1개, B에는 빨강2개·파랑1개가 있다. 매번 각 구슬은 같은 확률로 뽑는다. 다음 두 절차의 마지막 빨강 확률을 비교하라.
가: A에서 하나를 B로 옮긴 뒤 B에서 하나 뽑는다.
나: B에서 하나를 A로 옮긴 뒤 A에서 하나 뽑는다.
두 값은 다르다. 가에서는 옮긴 구슬이 빨강이면 B의 빨강 비율이3/4, 파랑이면2/4다. 나에서는 A의 빨강 비율이 각각2/3과1/3이다. 뽑은 구슬을 상대 주머니에 넣는 행동이 다음 단계의 구성과 분모를 바꾼다.
“곱셈의 순서를 바꾸어도 같다”는 말은 이미 정해진 같은 두 수의 곱에 관한 것이다. 여기서는 절차를 바꾸면 곱할 분수들 자체가 달라진다. 두 분수를 숫자 순서만 바꾼 것으로 보면 옮겨진 구슬의 효과를 놓친다.
교사는 첫 단계에서 옮긴 색별로 주머니 속 구슬을 적게 한다. 그다음 마지막 빨강 비율을 쓰면 분모4와3의 차이가 자연스럽게 드러난다. 분수를 계산하기 전에 각 분모가 어느 시점의 구슬 수인지 확인한다.
후속으로 구슬을 옮기지 않고 A와 B에서 서로 독립적으로 하나씩 뽑아 모두 빨강인 사건을 구하면1/2×2/3=1/3이다. 이 경우에는 순서가 확률을 바꾸지 않는다. 같은 주머니 두 개를 사용해도 이동 행동이 있는지에 따라 조건이 달라진다.
출처·착안: Paul Rowlandson, 「Thinking About Probability Trees」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.