칠판에 함수 조건 카드 네 장이 붙어 있다. 정의역은 X={a,b,c}, 공역은 Y={1,2,3,4}, 치역은 {1,2,3}, 그리고 f(a)=f(b)=1이다. 이 조건을 모두 만족하는 함수 f를 화살표 그림으로 만들 수 있을까?
공역에는 네 수가 있지만 모두 사용해야 하는 것은 아니다. 치역에 들어 있는 1,2,3은 반드시 실제 함수값으로 나와야 한다. a와 b의 화살표를 1로 보내고 나면 남은 입력은 c 하나뿐이다. c가 2로 가면 3이 나오지 않고, 3으로 가면 2가 나오지 않는다. 하나의 입력이 2와 3으로 동시에 갈 수는 없으므로 함수는 존재하지 않는다.
최소한의 수정 두 가지를 비교하자. 정의역에 d 하나를 더하면 f(c)=2, f(d)=3으로 모든 조건을 채울 수 있다. 반대로 정의역을 그대로 두고 치역에서 3을 삭제하면 f(c)=2로 만들 수 있다. 공역에서 4만 삭제하는 수정은 아무 도움이 되지 않는다. 4는 처음부터 치역에 없었기 때문이다.
교사 질문은 ‘공역의 원소가 많아서 만들 수 없는 것인가, 남은 입력이 부족해서인가’다. 공역과 치역을 같은 말로 읽는 학생은 4에 화살표를 보내려 할 수 있다. 주어진 치역을 한 번씩 실제로 확인하는 습관이 모순을 찾는다. 이 활동의 답은 숫자를 빈칸에 채우는 결과가 아니라 어떤 카드끼리 충돌하는지 설명하는 문장이다.
착안한 공개 원문: Build a Function Activity. 원문의 수업 관점으로 새 문항을 구성했다.