반지름2인 원판에서 중심까지 거리1 이하인 점을 성공으로 정한다. 두 선택 절차를 비교하라.
A: 원판의 넓이에 대하여 균등하게 점을 고른다.
B: 중심에서의 거리 r을0~2에서 균등하게 고르고, 독립적으로 방향을 원주에서 균등하게 골라 그 방향의 거리 r인 점을 찍는다.
A는 원판 안에서 같은 넓이의 영역이 같은 확률을 갖는다. B의 성공은 r≤1이므로 길이2인 구간에서 길이1인 구간을 골랐을 확률이다. 방향은 어느 쪽이어도 중심까지 거리를 바꾸지 않는다.
두 절차는 같은 원판 위 점을 만들지만 같은 확률 모델은 아니다. B에서 반지름01과12를 고를 확률은 각각1/2이다. 그러나 두 영역의 넓이는 π와3π로 다르다. 따라서 B의 점을 넓이에 대하여 균등하다고 할 수 없다.
교사는 “무작위로 원판의 한 점”만 쓰지 않고 어떤 양을 균등하게 골랐는지 적는다. 거리의 길이를 균등하게 고르는 문장과 넓이를 균등하게 고르는 문장은 서로 다른 조건이다. 그림이 같다는 이유로 같은 답을 쓰지 않는다.
반지름이 절반이라는 정보도 곧바로 성공 확률이 절반이라는 뜻은 아니다. A에서는 넓이가 제곱에 따라 바뀌어1/4이고 B에서는 선택한 r의 구간 길이로1/2이다. 두 풀이가 각각 어떤 전제를 사용했는지 표시한다.
문항의 평가 목적을 확률 모델 비교로 두면 원의 넓이 계산은 한 줄로 끝난다. 원판의 그림보다 선택 절차를 먼저 읽게 한다.
출처·착안: Dr Nic, 「Open Letter to Khan Academy about Basic Probability」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.