한 좌표의 도함수가 0이어도 평면에서 정지한 것은 아니다

x(t)=\cos t,\qquad y(t)=\sin t\quad(0\le t\le2\pi).

점 P가 좌표평면에서 움직인다. t=π/2에 y′(t)=0이므로 점이 정지했다는 답을 검토한다. 위치 좌표의 단위는m, 시간은초다.

두 좌표를 각각 미분하면 속도는(−sin t, cos t)이다. π/2에서 속도는(−1,0)이므로 점은 가로 방향으로 움직이며 정지하지 않는다. 세로 좌표가 순간적으로 변하지 않는다는 정보만 얻은 것이다.

속력은 다음과 같다.

\sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2}=1.

전체 시간 범위에서 속력은1m/s여서 정지 시각은 없다. 한 바퀴 움직인 거리는2πm지만 출발점과 도착점 사이 거리는0이다.

그림에서 원의 가장 위쪽 점에 세로 속도0만 적으면 완전히 멈춘 듯 보일 수 있다. 가로 속도−1도 함께 적고 접선 방향의 화살표를 표시한다. 평면에서의 정지는 두 좌표의 도함수가 동시에0이어야 한다는 조건을 수식으로 확인한다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Matching Motion」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.