정수 좌표 원의 열두 점에서 직각삼각형은 몇 개일까

원 x²+y²=25 위에서 두 좌표가 모두 정수인 점들을 찾는다. 이 점들 중 서로 다른 세 점을 같은 확률로 고를 때 직각삼각형일 확률을 구하라.

가능한 제곱수의 합25는0+25와9+16이다. 따라서 점은(±5,0),(0,±5),(±3,±4),(±4,±3)의 열두 개다.

서로 다른 세 점이 같은 직선 위에 있지 않으므로 모든 선택은 삼각형을 만든다.

원을 지나는 직각삼각형은 빗변이 지름이다. 이 사실은 빗변의 중점이 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있다는 식으로도 확인된다. 세 점을 지나는 원의 중심이 빗변의 중점이므로 이 원의 중심 O와 같아야 한다.

서로 반대인 열두 점은 지름 여섯 개를 만든다. 각 지름에서 나머지 열 점 중 하나를 세 번째 꼭짓점으로 고른다.

한 직각삼각형은 빗변이 하나이므로 이 계산에서 두 번 세어지지 않는다. 세 변 중 어느 변이 지름인지 다시3으로 곱하거나 나누지 않는다.

교사는 원 위 정수 점의 목록, 직각 조건, 중복 여부의 세 단계를 따로 확인한다. 좌표를 일일이 내적 계산하는 풀이는 가능하지만 열두 점의 중심 대칭을 사용하면 전체60개를 빠짐없이 셀 수 있다.

원의 네 축 교점만 점 목록으로 적으면 다른 여덟 점을 누락한다. 그림의 눈에 띄는 네 점보다 제곱수 목록을 먼저 확인하는 것이 현재 문항의 첫 검산이다.

출처·착안: Anne Watson, 「Lines and Angles on Square Grids」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.