AB와 BA가 달라도 1행 1열 성분과 2행 2열 성분의 합은 같다

A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}

두 행렬의 성분은 모두 실수이다. AB와 BA에서 각각 1행 1열 성분과 2행 2열 성분을 더하면 항상 같은가? 두 합이 같다는 사실에서 AB=BA라고 결론 내려도 되는가?

먼저 필요한 두 칸만 계산한다. AB의 두 성분은 ap+br, cq+ds이고, BA에서는 pa+qc, rb+sd이다.

(ap+br)+(cq+ds)=(pa+qc)+(rb+sd).

실수의 곱셈 순서를 바꾸고 네 항을 다시 모으면 같은 합이다. 다른 두 칸의 값은 이 계산에 들어오지 않았다. 합 하나가 같다고 네 성분이 모두 같다는 뜻은 아니다.

예를 들어 A=[[0,1],[0,0]], B=[[0,0],[1,0]]이면 AB=[[1,0],[0,0]], BA=[[0,0],[0,1]]이다. 두 합은 모두 1이지만 행렬은 다르다.

학생이 “행렬 곱셈에서는 순서를 바꿀 수 없으므로 두 합도 다르다”라고 답하면, 어떤 값을 비교하는지 표시하게 한다. 행렬 전체의 상등과 일부 성분을 더한 수의 상등은 별개다. 채점에서도 일반적인 네 문자 계산은 항상 같음을 보인 근거이고, 마지막 두 행렬은 역방향 결론을 반박한 근거로 구별한다.

출처·착안: Matthew Simonson, 「Matrix Multiplication Made Easy」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.