두 사람의 도착 시각 X,Y는 각각 0분부터20분 사이에서 독립적으로 균등하다. 먼저 온 사람이 A이면5분, B이면15분 기다린다. 두 사람이 만날 확률을 구하라. 정확히 기다린 시간 끝에 도착해도 만난 것으로 한다.
A가 먼저 오면 Y−X는 양수이고5 이하여야 한다. B가 먼저 오면 X−Y가15 이하여야 한다. 기다리는 두 시간을 더해서 |X−Y|≤20으로 쓰면 누구의 대기 시간인지 사라진다.
전체 영역은 한 변20인 정사각형이다. 만나지 못하는 영역은 Y−X>5인 삼각형과 X−Y>15인 삼각형이다. 두 삼각형의 직각변 길이는 각각15와5다.
경계선은 넓이가0이므로 등호를 포함하는지는 이 연속 모형의 확률을 바꾸지 않는다. 그러나 기다리는 시간을 어느 방향의 부등식에 넣는지는 확률을 바꾼다.
교사는 영역을 칠하기 전에 두 구체적인 도착 쌍을 확인한다. (X,Y)=(2,10)은 A가8분을 기다려야 하므로 실패하고, (10,2)는 B가8분을 기다리면 되므로 성공한다. 두 쌍을 모두 같은 색으로 칠한 답은 대칭인 조건을 잘못 적용한 것이다.
후속으로 두 사람 모두10분 기다리면 확률은3/4이다. 대기 시간의 합은 둘 다20분이지만 결과는 다르다. 합계만 같다는 정보가 각 순서의 허용 범위를 대신하지 못한다는 점을 설명하게 한다.
같은 대기 시간의 합을 유지하면서 두 영역이 달라지는 그림을 먼저 비교한다. 답을 구하기 전에도 두 삼각형이 서로 같은 크기인지 아닌지 예측할 수 있다.
출처·착안: Allan Rossman, 「Random rendezvous, part 2」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.