f는 실수 전체에서 연속이다. f가 무리수에서0이 아닌 값을 가질 수 있는지 증명하라. 정수 입력의 값만 아는 상황과 무엇이 다른지도 설명한다.
어떤 실수 r에서 f(r)>0이라고 가정한다. 연속이므로 r에 충분히 가까운 입력에서는 함수값이 f(r)/2보다 크다. 그런데 그 가까운 구간 안에도 유리수 q가 있고 f(q)=0이어서 모순이다. f(r)<0인 경우도 가까운 함수값이 음수로 유지된다는 사실로 모순을 얻는다.
따라서 모든 실수 r에서 f(r)=0이다. 여기서 유리수는 어느 실수의 임의로 가까운 곳에도 있다는 성질과 모든 점의 연속을 함께 썼다.
연속을0 한 곳에서만 가정하면 결론이 달라진다. 유리수에서0, 무리수에서x를 값으로 주는 함수는 |f(x)|≤|x|여서0에서 연속이고 모든 유리수에서0이지만 f(√2)=√2다.
또 정수에서만0인 연속함수 sin(πx)는 중간 입력에서0이 아닐 수 있다. 값이 같은 입력이 무한히 많다는 말만으로는 충분하지 않다. 그 입력이 임의의 r에 얼마나 가까이 올 수 있는지, r에서 연속인지 두 조건을 같이 읽는다.
출처·착안: Dan Meyer, 「Plates Without States」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.