f는0에서 미분가능하고 f′(0)=c라 하자. 이 조건만으로 모든 실수 x에서의 f와 f′를 구하라. 다른 점의 미분가능성은 처음부터 가정하지 않는다.
고정한 x에서 f(x+h)−f(x)=f(x){f(h)−1}이다. h로 나누어 극한을 취하면 오른쪽의 극한이 f(x)c로 존재한다. 따라서 모든 x에서 미분가능하며 f′(x)=cf(x)다.
평균값의 정리로 이 곱은 실수 전체에서 상수이고0의 값이1이다. 따라서 f(x)=e^{cx}, f′(x)=ce^{cx}다. 이 후보는 원래의 덧셈 관계와0의 조건을 직접 만족한다.
0에서의 정보가 전체로 전달된 이유는 주어진 함수 관계가 x+h의 값을 x와h의 값으로 정확히 나누었기 때문이다. 임의의 함수가0에서 미분가능하다는 사실만으로 이런 결론을 낼 수는 없다. 처음 줄에서 전 구간 미분가능하다고 써 버리는 답에는, 그 성질을 실제로 얻는 분수의 등식을 적게 한다.
출처·착안: Lin McMullin, 「Seeing the Chain Rule」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.