확률변수 X는0,2,4 중 하나의 값을 갖고 E(X)=2이다. 세 확률이 모두 양수라는 조건은 없다. 이 정보로 분산이 정해지는지, 가능한 분산의 범위를 구하라.
a+b+c=1이고2b+4c=2이다. 두 식을 비교하면 a=c이다. 이를 t라 놓으면 b=1−2t이므로0≤t≤1/2다.
평균은 같아도 분산은 하나로 정해지지 않는다. t=0이면 X가 항상2라서 분산0이고, t=1/2이면0과4가 각각1/2라서 분산4다. 그 사이의 t도 조건을 만족하므로 두 끝값 사이 모든 분산이 가능하다.
교사는 세 확률이 같다고 추가로 가정한 답을 확인한다. 평균이 가운데 값이라는 사실은 양 끝의 확률이 같다는 조건을 주지만, 세 확률이 모두 같다는 조건은 주지 않는다. t=1/3은 여러 가능한 선택 중 하나다.
문항 준비에서는 확률0을 허용하는지 명시한다. 세 값이 모두 양의 확률로 나타난다고 요구하면 t는0보다 크고1/2보다 작아져 분산의 끝값0과4는 제외된다. 같은 연립식이어도 확률의 범위 조건이 답의 등호를 결정한다.
계산 후에는 끝값을 실제 분포로 만들어 보게 한다. 범위를 구하는 식과 그 끝값을 만드는 예가 모두 맞아야 가능 범위라는 결론을 확인할 수 있다.
분산의 단위를 기댓값과 혼동하지 않도록 원래 값에서 평균2를 뺀 차이를 먼저 적는다. 두 끝의 차이가 각각−2와2이므로 제곱한 값은 모두4다.
출처·착안: Allan Rossman, 「What do you expect?」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.