P,Q는 계수가 모두 실수인 다항식이다. 이 조건으로 모든 실수 t에서 P(t)=Q(t)를 결론 낼 수 있는지 증명하라. sin의 출력은 [−1,1]뿐이라는 사실도 함께 읽는다.
sinx는 [−1,1]의 모든 값을 갖는다. 따라서 R(t)=P(t)−Q(t)는 이 구간의 모든 입력에서0이다.0이 아닌 유한한 차수의 다항식은 차수보다 많은 서로 다른 근을 가질 수 없다. R은 무한히 많은 근을 갖게 되므로 모든 계수가0이고 실수 전체에서 P=Q다.
바깥 함수가 다항식이라는 전제를 지우면 결론이 다르다. f(t)=0이고 g(t)는 |t|≤1에서0, |t|>1에서(|t|−1)²이라 하자. 두 함수에 sin을 넣으면 항상 같지만 t=2에서는 값이0과1이다. 두 함수는 모두 연속이기도 하다.
일반 함수의 경우 sin이 도달하지 않는 입력의 정보가 빠져 있다. 다항식에서는 한 구간의 무한한 일치가 계수 전체를 강제한다. 합성의 출력 범위를 먼저 쓰고 그 뒤 다항식의 근 개수 조건을 연결하게 한다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Shared Factors – A Quadratics Puzzle」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.