최종 판정 확률이 같아도 검사 순서는 평균 횟수를 바꾼다

세 검사 $A,B,C$의 성공 여부는 서로 독립이다. 미리 정한 순서대로 각 검사를 한 번씩 실시하며, 성공이 두 번 또는 실패가 두 번 나오면 즉시 끝낸다. 성공 두 번이면 통과다. 여섯 순서 중 통과 확률이 가장 큰 순서와 평균 검사 횟수가 가장 작은 순서를 찾아라.

판정은 같고, 세 번째 검사를 쓰는 비율은 다르다

세 검사의 결과를 모두 적었다고 생각하면 성공이 두 개 이상인 경우가 통과다. 첫 두 결과가 같으면 남은 결과를 보지 않아도 판정이 확정된다. 순서를 바꾸어도 이 통과 사건은 변하지 않는다. 세 성공 확률을 $a,b,c$라 쓰면

따라서 통과 확률은 어느 순서나 같다.

검사 횟수 $T$는 $2$ 또는 $3$이다. 첫 두 검사의 결과가 다를 때만 세 번째 검사를 한다. 그 두 성공 확률이 $p,q$라면

따라서 평균 횟수가 가장 작은 순서는 $ABC,BAC,BCA,CBA$다. 성공 확률이 가장 높은 $C$를 무조건 처음에 놓는 규칙은 여기서 답을 결정하지 못한다. 성공과 실패 어느 쪽이든 같은 결과 두 번이면 끝나므로, 첫 두 결과가 서로 다른 확률을 줄여야 한다.

문항을 준비할 때 ‘통과 확률을 높인다’와 ‘검사 횟수의 평균을 줄인다’ 중 목표를 명시한다. 여덟 결과를 모두 같은 확률로 세면 안 되며, 독립이라는 조건도 각 성공 확률이 같다는 뜻은 아니다. 미실시한 검사의 결과까지 실제로 관측했다는 설명 대신, 가능한 세 결과로 최종 판정을 분류했다고 적는다.

교사용으로 새로 구성한 문항입니다. 참고: Allan Rossman, 「#100 Independence day, part 3」.