60진 소수0;d₁,d₂를 d₁/60+d₂/60²로 정의한다. 1/8의 유한 표현을 구하고, 1/7은 유한하게 끝날 수 없는 이유를 설명하라. 이어 1/7의 처음 세 자리와 나머지를 구하라.
유한 표현의 분모 조건
1/8=7/60+30/3600이므로0;7,30이다. 기약분수p/q가60진에서k자리로 끝나려면 q가60ᵏ의 약수여야 한다. 60의 소인수는2,3,5뿐이라7을 분모로 가진1/7은 끝나지 않는다.
나눗셈에서는60=7×8+4, 240=7×34+2, 120=7×17+1이다. 세 자리 뒤 나머지가 처음의1로 돌아오므로8,34,17이 반복된다. 유한 표현의 불가능성과 반복 표현의 실제 구성을 따로 확인한 셈이다.
10진의 유한소수 조건을 외워 적용하는 학생에게 밑60을 먼저 소인수분해하게 한다. 숫자7을 여러 번 나누어 본 관찰과 약수 조건을 이용한 증명을 구분해 기록한다.
1/12와1/11은 어느 쪽이60진에서 유한하게 끝날까? 분모의 소인수만으로 먼저 예측하라.
착안 원문: Babylonian numerals. 60을 밑으로 사용하는 표기에서 유한 표현의 분모 조건을 직접 따졌다.