평면 대칭의 순서를 바꾸어도 같은 점이 될까

P=(1,0,0),\quad\alpha:z=0,\quad\beta:x=z.

α에 대칭시킨 뒤 β에 대칭시키는 것과 β 뒤 α의 순서를 비교하라. 두 좌표평면에서 순서가 같았다는 이유로 이 경우도 같다고 할 수 있는가?

α 대칭은 (x,y,z)→(x,y,−z)다. β 대칭은 (x,y,z)→(z,y,x)다. 따라서

P\xrightarrow{\alpha}P\xrightarrow{\beta}(0,0,1), \qquad P\xrightarrow{\beta}(0,0,1)\xrightarrow{\alpha}(0,0,-1).

최종 점이 다르다. 원래 점 P는 α 위에 있어 첫 대칭에서 그대로지만 β에 먼저 대칭시킨 점은 α 위에 있지 않다. 어느 단계의 점에 다음 대칭을 적용했는지가 중요하다.

β 대칭에서 x,z를 바꾸는 이유도 확인한다. 원래 점과 (z,y,x)의 중점은 ((x+z)/2,y,(x+z)/2)로 β 위에 있다. 두 점의 차는 (z−x,0,x−z)이며 β의 법선벡터 (1,0,−1)와 평행하다. 이미 β 위인 점은 그대로다.

교사는 대칭점을 외운 부호 규칙만으로 구하지 않게 한다. β는 좌표평면이 아니므로 한 성분의 부호를 바꾸는 규칙을 그대로 적용할 수 없다. 중점의 위치와 연결 방향으로 대칭점임을 검산한다.

일반점에 두 순서를 적용하면 각각 (−z,y,x), (z,y,−x)다. 두 결과가 같은 점은 x=z=0일 때뿐이다. 특정 점에서 같다는 사실과 모든 점에서 같은 변환이라는 주장을 구별한다.

문항에는 첫 대칭의 결과를 중간 점으로 적는 칸을 둔다. 원래 P에 두 조건을 각각 적용한 답과 연달아 적용한 답을 구별하기 쉽다.

연달아 수행하는 순서와 두 대칭점을 각각 따로 구하는 질문을 구별한다. 둘째 단계는 첫째 단계에서 얻은 점에 적용한다.

평면 위 고정된 점도 일반 대칭식에 대입하여 확인한다.