두 중간 결과의 확률이 달라도 독립인 두 선택을 만들 수 있다

첫 선택과 둘째 선택은 각각 빨강 R 또는 파랑 B다. 네 순서쌍의 확률이 아래 표와 같다. 두 선택이 독립인 실험을 만들 수 있는가?

만들 수 있다. 첫 빨강 확률은5/15=1/3이고 둘째 빨강 확률은6/15=2/5다. 두 주머니를 따로 사용하여 A는 빨강1·파랑2, B는 빨강2·파랑3으로 정하고 각 주머니에서 각 구슬을 같은 확률로 독립적으로 하나씩 뽑으면 표의 네 값이 나온다.

RB와 BR이 같지 않다는 사실은 독립을 부정하지 않는다. 같은 주머니에서 되넣으며 같은 선택을 두 번 반복한 상황이었다면 두 값이 같아야 하지만, 독립인 서로 다른 주머니는 빨강 비율이 달라도 된다.

교사는 “독립”과 “두 단계의 성공 확률이 같다”를 같은 조건으로 읽었는지 확인한다. 표에서 먼저 각 단계의 빨강 확률을 구하고, 그 두 값의 곱이 RR과 맞는지 점검한다. 네 값을 전부 확인하면 실험 설계도 함께 검산된다.

후속으로 앞의 세 값을 유지한 채 BB를5/15로 바꾸면 전체 합이14/15다. 이 표는 독립 판단 이전에 확률분포 조건을 만족하지 않는다. 전체 합1과 단계의 독립은 다른 점검이다.

두 주머니에서 각각 하나씩 뽑는 실험이므로 첫 결과에 따라 둘째 주머니의 구슬이 바뀌지 않는다. 네 순서쌍 중 한 칸만 확인하지 말고 나머지 세 칸도 같은 실험에서 만들어지는지 비교한다.

출처·착안: Paul Rowlandson, 「Thinking About Probability Trees」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.