절댓값이 합 밖에 있는지 안에 있는지에 따라 확률이 다르다

−1≤X≤1, −1≤Y≤1인 정사각형에서 넓이에 비례해 점(X,Y)를 고른다. 다음 두 사건의 확률이 같다는 주장을 검토하라.

A:|X+Y|\le1,\qquad B:|X|+|Y|\le1.

B의 영역은 꼭짓점(1,0),(0,1),(−1,0),(0,−1)을 잇는 도형이다. 네 직각삼각형의 넓이가 각각1/2이므로 넓이2, 전체 넓이4에서 P(B)=1/2다.

A에서는 X+Y>1인 오른쪽 위 삼각형과 X+Y<−1인 왼쪽 아래 삼각형을 제외한다. 각 넓이는1/2다.

P(A)=\frac{4-1/2-1/2}{4}=\frac34.

경계선은 넓이0이므로 현재의 ≤를 <로 바꾸어도 확률값은 같다.

항상 |X+Y|≤|X|+|Y|이므로 B에 속한 점은 A에도 속한다. 역은 아니다. (0.9,−0.9)는 A에 속하지만 B에는 속하지 않는다. 부호가 다른 두 좌표가 합에서 서로 상쇄되는 부분이 A에 더 들어 있다.

교사는 절댓값의 위치를 바꾸는 계산을 단순 기호 정리로 처리하지 않는다. 사건의 식이 바뀌면 같은 점이 포함되는지부터 확인해야 한다. 그림의 넓이를 정확히 계산해도 다른 식의 영역을 그리면 정답은 달라진다.

출제 단계에서는 두 식을 나란히 적고 같은 확률을 예상하는지 묻는 방식도 가능하다. 반례 점 하나로 사건이 다름을 확인한 뒤 전체 영역의 넓이 차이까지 연결한다. 사건이 다르다는 사실만으로 확률이 다르다고 단정하지 않고 현재는 실제 넓이로 확인한다.

A에 속하지만 B에는 속하지 않는 영역의 넓이는1이다. 한 점 반례가 아니라 양의 넓이를 가진 부분이 더 남아 두 확률도 실제로 다르다.