공정한 동전을 독립적으로 네 번 던진다. X는 첫 두 번의 앞면 횟수, Y는 뒤 두 번의 앞면 횟수다. T=X−Y, U=T+2의 분포를 구하라.
T는 −2~2를 취하므로 그대로 앞면 횟수의 이항분포라고 할 수 없다. U의 식을 고치면
다.2−Y는 뒤 두 번의 뒷면 횟수다. 따라서 U는 첫 두 번에서 앞면을, 뒤 두 번에서 뒷면을 성공으로 센 네 독립 시행의 성공 횟수다. 각 성공 확률은1/2다.
예를 들어 기록 HHTT에서는 X=2,Y=0이므로 U=4다. TTHH에서는 U=0이다. 전체 앞면 횟수와 U가 같은 변수는 아니지만 두 분포는 모두 B(4,1/2)다.
교사는 식의 값이0~4라는 이유만으로 이항분포라고 결론 내리지 않게 한다. 위 풀이에서는 실제 네 독립 시행과 각 성공 확률을 재구성했기 때문에 이항분포를 사용할 수 있다. 값의 범위만 확인한 답과 다르다.
동전의 앞면 확률이1/3으로 바뀌면 첫 두 성공 확률은1/3, 뒤 두 성공 확률은2/3이 된다. 네 성공 확률이 같지 않으므로 같은 설명으로 B(4,1/3)를 붙일 수 없다. 공정 조건이 식의 분포를 정하는 데 사용되었다.
문항 준비에서는 덧셈2를 단순한 좌표 이동으로만 처리하지 않고 어떤 횟수를 새로 세는지 먼저 찾게 한다. 식의 변형이 시행의 해석으로 연결되는 예다.
서로 다른 변수라고 해서 분포가 반드시 다른 것은 아니다. 실제 기록별 값이 같은지를 묻는 질문과 가능한 값의 확률이 같은지를 묻는 질문을 분리한다.
출처·착안: Dr Nic, 「Open Letter to Khan Academy about Basic Probability」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.