두 직각변의 길이가 1과 2인 삼각형에서 tan α=1/2인 예각 α를 잡고 θ=2α라 하자. 물체를 매번 θ만큼 회전한다. uₙ=2cos(nθ), Pₙ=5ⁿuₙ이라 할 때 아래 점화식을 사용할 수 있다. 양의 정수 N번 회전한 뒤 처음 방향으로 돌아올 수 있는가? Pₙ을 5로 나눈 나머지를 이용해 증명하라.
배각 공식으로 cos θ=(1−tan²α)/(1+tan²α)=3/5이다. 코사인의 덧셈 공식에서 uₙ₊₁=(6/5)uₙ−uₙ₋₁이 나오고, 양변에 5ⁿ⁺¹을 곱하면 주어진 P의 점화식이 된다. P₀=2, P₁=6이므로 모든 Pₙ은 정수다.
P₁을 5로 나눈 나머지는 1이다. 점화식의 두 번째 항은 25의 배수이며 6은 5로 나눈 나머지가 1이므로, n≥1에서 Pₙ₊₁의 나머지는 Pₙ의 나머지와 같다. 따라서 모든 n≥1에 대해 Pₙ의 나머지는 1이다.
N번 뒤 처음 방향으로 돌아온다면 Nθ는 2π의 정수배이고 uₙ에서 u_N=2가 된다. 그러면 P_N=2×5ᴺ은 5의 배수여야 하므로 나머지 1과 모순이다. 양의 정수 번 회전으로는 돌아오지 않는다. 서로 다른 두 단계의 방향이 같아도 그 차이만큼의 회전으로 돌아오므로 같은 모순이 생긴다. 이 결과는 여기서 정한 회전 모형의 증명이다. pinwheel 타일 배치나 hat 타일의 비주기성 전체를 증명한 것은 아니다.
점화식은 문제의 조건으로 먼저 제공하고, 나머지의 보존만으로 불가능성을 증명하게 한다. 이후 코사인 덧셈 공식으로 점화식을 유도해 삼각비와 정수 논증을 연결할 수 있다.
처음 몇 번의 방향이 달라 보인다는 관찰과, 모든 양의 정수 단계에서 돌아오지 않는다는 증명은 어떤 점에서 다른가?
착안 원문: An aperiodic monotile exists!. 원문이 pinwheel의 직각삼각형 변 길이 1,2,√5를 소개한 장면에서 출발해, 그 삼각비의 두 배 각으로 반복 회전하는 자체 모형을 구성했다.