치역이 Y 전체인 함수는 몇 개일까? 일대일 대응의 개수와도 비교하라.
세 입력마다 함수값을 0 또는 1로 정하므로 함수는 2³=8개다. 0만 쓰거나 1만 쓰는 상수함수 두 개를 빼면
두 상수함수 이외에는 0과 1을 모두 쓰므로 빠진 경우는 없다.
| 1을 함수값으로 갖는 입력 수 | 함수 수 |
|---|---|
| 0명 | 1 |
| 1명 | 3 |
| 2명 | 3 |
| 3명 | 1 |
반면 일대일 대응은 0개다. 세 입력의 함수값을 모두 다르게 하려면 값 세 개가 필요한데 공역에는 두 개만 있다.
치역과 공역이 같다는 조건은 모든 공역 원소를 쓰라는 뜻이다. 서로 다른 입력의 함수값까지 달라야 한다는 일대일 조건은 별도로 확인한다. 표의 가운데 두 행은 앞 조건을 만족해도 일대일은 아니다.
출처·착안: Natalie Turbiville, 「Wendy’s Letter Project (Permutations and Combinations)」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.