세 사람의 생일을 세 날1,2,3 중에서 서로 독립적으로 같은 확률로 정한다. 생일이 같은 사람 쌍의 개수를 X라 한다. E(X)와 적어도 한 쌍이 같은 생일일 확률을 비교하라.
쌍은 AB,AC,BC 세 개이고 각 쌍이 같은 생일일 확률은1/3이다. 평균 쌍의 개수1이 적어도 한 쌍이 같을 확률1이라는 뜻은 아니다.
세 사람의 생일이 모두 다를 기록은3!=6개이고 전체 기록은3³=27개다.
세 사람이 모두 같은 생일인3개 기록에서는 X=3이다. 정확히 둘만 같으면 X=1이고 그런 기록은18개다. 모두 다르면 X=0인6개다. 이 분포에서도 평균은(18+3×3)/27=1로 확인된다.
X는2가 될 수 없다. AB와 AC의 생일이 모두 같으면 BC도 같아 세 쌍이 되기 때문이다. 가능한 값을0,1,2,3 네 개로 균등하게 정하는 방법은 기록의 구조를 잃는다.
교사는 세 쌍의 확률을 더한 계산의 단위를 물을 수 있다. 각 기록에서 같은 쌍을 하나씩 세어 더한 것은 평균 개수다. 적어도 한 쌍이라는 사건은 그 기록을 한 번만 세며 세 쌍이 같은 기록도 확률에는 한 번 들어간다.
세 사람이 모두 같은 기록 하나를 적어 보면 같은 쌍 세 개가 들어 있다. 쌍별 확률을 더할 때 그 기록은 세 번 기여하지만 적어도 한 쌍이 같은 사건에는 한 번 기여한다. 무엇을 세는 계산인지 실제 기록의 기여 횟수로 설명할 수 있다.
출처·착안: Allan Rossman, 「#18: What do you expect?」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.